Phoenix案例:PML(6)——轻松构建多种模型拟合S型曲线

2020-06-12 15:42:01 来源:源资信息科技(上海)有限公司

新闻摘要:本案例介绍如何使用PML(Phoenix建模语言)轻松构建出多种对S形曲线及进行拟合的模型。

前言:

本案例介绍如何使用PML(Phoenix建模语言)轻松构建出多种对S形曲线及进行拟合的模型。

 

使用的数据:

数据取自由Heyes和Brown的报告的叶子的生长数据(1956)。

含水量对距离散点图如下,可以看到生成的图形是S形的:


目的:

使用下述的一系列S形模型拟合数据:

◆ Logistic(逻辑分布累计分布曲线)使用下述的一系列S形模型拟合数据:

◆ Gompertz(戈珀兹曲线)

◆ Weibull(韦伯分布累计分布曲线)

◆ Richards(Richards增长曲线)

◆ Morgan-Mercer-Flodin

◆ Hill(希尔方程)


通过该案例展示Phoenix Model操作对象在参数名称和方程方面的灵活性。

◆ 为方便起见, 所有模型都参数化α, β, γ, δ。


具体模型的介绍与实现:

1.Logistic模型和方程

特点:

◆ Logistic模型是最简单的S形模型。

◆ 下渐近线为0,上渐近线为Y的最大值.

◆ 该模型关于拐点是对称的。

◆ 应该用于模拟拐点大约是最大Y的1/2的过程。


方程:

3个参数:

◆ α=曲线中Y的最大值

◆ β=曲线的中点

◆ γ=曲线的陡度


对应的PML代码:


2. Gompertz模型和方程

特点:

◆ Gompertz模型最初用于模拟人类死亡率,先验假设一个人的死亡抵抗力随着年龄的增长而降低。今天的应用实例包括精算科学和细菌生长曲线建模。

◆ 下渐近线为0,上渐近线为Y的最大值.

◆ 是广义Logistic函数的特例。其与Logistic函数的不同是S型两边不对称,拐点偏前。

 

方程:

 

3个参数:

◆ α=曲线中Y的最大值

◆ β=生长速度b

◆ γ=生长速率c

对应的PML代码:

 

3. Weibull模型和方程

特点:

◆ 累积Weibull模型也称为“拉伸指数”函数。 它添加了一个参数delta,允许修改拐点。

◆ 上渐近线是Y的最大值,下渐近线可以是非零。

◆ 应用:通常用于在固体剂型溶解期间模拟粒度。

方程:

 

4个参数:

◆ α = 曲线中Y的最大值 (上部渐近线)

◆ β = 下渐近线

◆ γ = 控制拐点的 x 值

◆ δ = 曲线的陡峭度

对应的PML代码:

 

4.Richards模型和方程

特点:

◆ Richards模型对非对称S型曲线建模具有很强的灵活性。它还使用增量参数修改拐点。

◆ 上渐近线是最大 Y, 下渐近线可以是非零。

◆ 应用: 增长率曲线

方程:

 

4个参数:

◆ α = 曲线的最大 Y 值 (上部渐近线)

◆ β = 生长速率

◆ γ = x 轴上的拐点

◆ δ = 控制拐点的 x 值

对应的PML代码:


5.Morgan-Mercer Flodin模型和方程

特点:

◆ Morgan-Mercer-Flodin模型首先用于模拟生物效率,例如对营养素存在的反应。允许不对称增长(即拐点不一定是1/2最大的)。

◆ 上渐近线是最大Y,下渐近线可以是非零。

◆ 应用:增长率曲线


方程:

4个参数:

◆ α=曲线的最大Y值(上渐近线)

◆ β=增长率

◆ γ=增长率

◆ δ=控制拐点的x值


对应的PML代码:


6.Hill模型和方程

特点:

◆ Hill模型最初用于描述氧与血红蛋白结合的动力学。它现在被广泛用于模拟药效学。使用诸如Emax和EC50之类的参数名称,这是经典的sigmoid Emax模型。

◆ 指数gamma可用于修改拐点。 E0的加法允许Y截距为非零。

◆ 上渐近线是最大Y,下渐近线可以是非零。


方程:

 

4个参数:

◆ α=下渐近线(E0)

◆ β=上渐近线(Emax)

◆ γ=拐点的x值(EC50)

◆ δ=指数控制曲线的陡度(n)


对应的PML代码:


3个参数:

◆ α

对应的Phoenix Model中的内置模型:

带有基线的S型Emax模型


对应的使用药效学参数命名的PML代码:


使用药效学Emax模型参数估算初值估算技巧估算当前Hill方程参数初值:

E0 = 1,来自X = 0处的探索图

Emax = 20,来自X = 20的探索图

EC50 = 10,来自½Emax

N =指数任意设定为1(来自简化模型)

 

结果:

所有模型的观察和预测(水分含量)对距离图:


模型参数估计值(Theta)表格比较:

 

信息判据(Overall)表格比较:


参考文献:

Gabrielsson、药动学和药效学数据分析:概念和应用, 第五版,(2015),PD11案例。


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